Question

$ta{n}^{-1}\frac{1}{3}+ta{n}^{-1}\frac{2}{9}+ta{n}^{-1}\frac{4}{33}+\cdots$ to $\infty =$

• A. $\frac{\pi }{4}$
• B. $\frac{\pi }{2}$
• C. $\pi$
• D. $None$

Answer 1

The correct option is A $\frac{\pi }{4}$

Let $S=ta{n}^{-1}\frac{1}{3}+ta{n}^{-1}\frac{2}{9}+ta{n}^{-1}\frac{4}{33}+\cdots$ to $\infty$
$T_n=ta{n}^{-1}\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}=ta{n}^{-1}\frac{2^n-2^{n-1}}{1+2^n.2^{n-1}}$
$=ta{n}^{-1}{2}^n-ta{n}^{-1}{2}^{n-1}$
$\therefore$ $S_n$ = Sum of n terms of the series.
$=(ta{n}^{-1}2-ta{n}^{-1}1)+(ta{n}^{-1}{2}^2-ta{n}^{-1}2)+(ta{n}^{-1}{2}^3-ta{n}^{-1}{2}^2)+\cdots +(ta{n}^{-1}{2}^n-ta{n}^{-1}{2}^{n-1})$
$=ta{n}^{-1}{2}^n-ta{n}^{-1}{2}^{n-1}$
$\therefore$ $S_n=\underset{n\to \infty }{lim}{S}_n=\underset{n\to \infty }{lim}ta{n}^{-1}{2}^n-\frac{\pi }{4}$
$=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}$