Question

Evaluate $\tan 5\mathrm{x}\tan 3\mathrm{x}\tan 2\mathrm{x}$

• A. $\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}-\tan 2\mathrm{x}$
• B. $\frac{\left(\sin 5\mathrm{x}-\sin 3\mathrm{x}-\sin 2\mathrm{x}\right)}{\left(\cos 5\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x}-\cos 2\mathrm{x}\right)}$
• C. $0$
• D. None of these

Answer 1

The correct option is A

$\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}-\tan 2\mathrm{x}$

Explanation for correct option

Solving the given expression

Given, $\tan 5\mathrm{x}\tan 3\mathrm{x}\tan 2\mathrm{x}$

Considering, $2\mathrm{x}=5\mathrm{x}-3\mathrm{x}$

We take $\tan$ on both sides,

$$\begin{gathered} \tan 2\mathrm{x}=\tan (5\mathrm{x}-3\mathrm{x}) \\ \Rightarrow \tan 2\mathrm{x}=\frac{\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}}{1+\tan 5\mathrm{xtan}3\mathrm{x}}\left[\because tan(A-B)=\frac{tanA-tanB}{1+tanAtanB}\right] \\ \Rightarrow \tan 2\mathrm{x}(1+\tan 5\mathrm{xtan}3\mathrm{x})=\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x} \\ \Rightarrow \tan 2\mathrm{x}+\tan 2x\tan 5x\tan 3\mathrm{x}=\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x} \end{gathered}$$

Simplifying further, we get:

$\therefore \tan 5\mathrm{x}\tan 3\mathrm{x}\tan 2\mathrm{x}=\tan 5\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}-\tan 2\mathrm{x}$

Hence, the correct answer is Option (A).