Question

tan x +cot x = 2 then show that 1)tanⁿ x +cotⁿ x =2
2)tan^1/2 x+ cot^1/2x=2

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}=2.....\left(1\right) \\ \mathrm{squaring}\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ {\tan }^2\mathrm{x}+{\cot }^2\mathrm{x}+2\mathrm{tanxcotx}=4 \\ {\tan }^2\mathrm{x}+{\cot }^2\mathrm{x}+2=4 \\ {\tan }^2\mathrm{x}+{\cot }^2\mathrm{x}=2 \\ \mathrm{Now}\mathrm{taking}\mathrm{power}3\mathrm{of}\mathrm{equation}1\mathrm{we}\mathrm{get} \\ {\tan }^3\mathrm{x}+{\cot }^3\mathrm{x}+3\mathrm{tanxcotx}\left(\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}\right)=8 \\ {\tan }^3\mathrm{x}+{\cot }^3\mathrm{x}+3\times 2=8 \\ {\tan }^3\mathrm{x}+{\cot }^3\mathrm{x}=2 \\ \mathrm{So}\mathrm{in}\mathrm{general}\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{say}\mathrm{that}, \\ {\tan }^{\mathrm{n}}\mathrm{x}+{\cot }^{\mathrm{n}}\mathrm{x}=2 \\ \mathrm{Now}\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that}, \\ {\left({\tan }^{\frac{1}{2}}\mathrm{x}+{\cot }^{\frac{1}{2}}\mathrm{x}\right)}^2=\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}+2{\tan }^{\frac{1}{2}}\mathrm{x}\times {\cot }^{\frac{1}{2}}\mathrm{x} \\ =2+2=4 \\ \mathrm{So}\left({\tan }^{\frac{1}{2}}\mathrm{x}+{\cot }^{\frac{1}{2}}\mathrm{x}\right)=\sqrt{4}=2 \end{gathered}$$