Question

TANGENT AND NORMAL
14. If the tangent to the curve y = $x^3$ + ax + b at (1, —6) is parallel to the line x — y + 5 = O, find a and b.

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{y}={\mathrm{x}}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b} \\ \mathrm{Differentiate}\mathrm{wrt}\mathrm{x},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=3{\mathrm{x}}^2+\mathrm{a} \\ {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}_{\left(1,-6\right)}=3{\left(1\right)}^2+\mathrm{a}=3+\mathrm{a} \\ \mathrm{Consider},\mathrm{x}-\mathrm{y}+5=0 \\ \mathrm{y}=\mathrm{x}+5, \\ \mathrm{compared}\mathrm{with}\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c} \\ \mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{m}=1 \\ \mathrm{Also},\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{tangent}=\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{line}\mathrm{x}-\mathrm{y}+5 \\ 3+\mathrm{a}=1 \\ \boxed{\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}} \\ \mathrm{Also}\mathrm{point}\left(1,-6\right)\mathrm{lies}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b} \\ -6=1^3+\left(-2\right)\left(1\right)+\mathrm{b} \\ -6=1-2+\mathrm{b} \\ -6=-1+\mathrm{b} \\ \boxed{\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}} \end{gathered}$$
Regards