Question

The altitude of a circular cylinder is increased six times and the base area is decreased one-ninth of its value. The factor by which the lateral surface of the cylinder increases, is

(a) $\frac{2}{3}$

(b) $\frac{1}{2}$

(c) $\frac{3}{2}$

(d) 2

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{original}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{base}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=\mathrm{r} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{original}\mathrm{height}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=\mathrm{h} \\ \mathrm{Now},\mathrm{original}\mathrm{base}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cylinder},\mathrm{S}={\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{Now},\mathrm{original}\mathrm{LSA}\mathrm{of}\mathrm{cylinder},\mathrm{A}=2\mathrm{\pi rh}............\left(1\right) \\ \mathrm{When}\mathrm{the}\mathrm{altitude}\mathrm{is}\mathrm{increased}\mathrm{to}6\mathrm{times}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{initial}\mathrm{value}\mathrm{and}\mathrm{base}\mathrm{area}\mathrm{is}\mathrm{decreased}\mathrm{one}-\mathrm{ninth}\mathrm{of}\mathrm{its}\mathrm{initial}\mathrm{value}: \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{new}\mathrm{height}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cylinder}=\mathrm{h}\text{'} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{new}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{base}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=\mathrm{r}\text{'} \\ \mathrm{Now},\mathrm{new}\mathrm{base}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{cylinder},\mathrm{S}\text{'}=\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\text{'}\right)}^2 \\ \mathrm{Now},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}, \\ \mathrm{new}\mathrm{height}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=6\times \mathrm{original}\mathrm{height}\mathrm{of}\mathrm{cylinder} \\ \Rightarrow \boxed{\mathrm{h}\text{'}=6\mathrm{h}} \\ \mathrm{Also},\mathrm{new}\mathrm{base}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{cylinder}=\frac{1}{9}\left(\mathrm{original}\mathrm{base}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cylinder}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{S}\text{'}=\frac{1}{9}\mathrm{S} \\ \Rightarrow \mathrm{\pi }{\left(\mathrm{r}\text{'}\right)}^2=\frac{1}{9}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right) \\ \Rightarrow {\left(\mathrm{r}\text{'}\right)}^2={\left(\frac{\mathrm{r}}{3}\right)}^2 \\ \Rightarrow \boxed{\mathrm{r}\text{'}=\frac{\mathrm{r}}{3}} \\ \mathrm{Now},\mathrm{new}\mathrm{LSA}\mathrm{of}\mathrm{cylinder},\mathrm{A}\text{'}=2\mathrm{\pi r}\text{'}\mathrm{h}\text{'} \\ \Rightarrow \mathrm{A}\text{'}=2\mathrm{\pi }\times \left(\frac{\mathrm{r}}{3}\right)\times \left(6\mathrm{h}\right)=2\times \left(2\mathrm{\pi rh}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{A}\text{'}=2\mathrm{A}\left[\mathrm{Using}\left(1\right)\right] \\ \mathrm{Hence},\mathrm{lateral}\mathrm{surface}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cylinder}\mathrm{becomes}\mathrm{twice}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{original}. \\ \mathrm{So},\mathrm{option}\left(\mathrm{d}\right)\mathrm{is}\mathrm{correct}. \end{gathered}$$