Question

The angle between the two diagonals of a cube is
(a) 30°

(b) 45°

(c) ${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

(d) ${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$

Answer 1

(d) ${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$



$$\begin{gathered} \mathrm{Let}a\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{edge}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cube}\mathrm{and}\mathrm{let}\mathrm{one}\mathrm{corner}\mathrm{be}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{origin}\mathrm{as}\mathrm{shown}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{figure}.\mathrm{Clearly},OP\mathit{,}\mathit{}AR\mathit{,}\mathit{}BS\mathit{,}\mathit{}\mathrm{and}\mathit{}CQ\mathit{}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{cube}. \\ \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{diagonals}OP\mathit{}\mathrm{and}\mathit{}AR\mathit{.} \\ \mathrm{Direction}\mathrm{ratios}\mathrm{of}OP\mathrm{and}\mathit{}AR\mathrm{are}\mathrm{proportional}\mathrm{to}a-0,a-0,\mathit{}a-0\mathrm{and}0-a,a-0,\mathit{}a-0,\mathrm{i}.\mathrm{e}.a\mathit{,}\mathit{}a\mathit{,}\mathit{}a\mathrm{and}\mathit{-}a\mathit{,}\mathit{}a\mathit{,}\mathit{}a,\mathrm{respectively}. \\ \mathrm{Let}\mathrm{\theta }\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{between}OP\mathit{}\mathrm{and}AR.\mathrm{Then}, \\ \cos \mathrm{\theta }=\frac{a\times \mathit{-}a+a\times a+a\times a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}\sqrt{{\left(-a\right)}^2+a^2+a^2}} \\ \Rightarrow \cos \mathrm{\theta }=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}\sqrt{3a^2}} \\ \Rightarrow \cos \mathrm{\theta }=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \mathrm{\theta }={\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{the}\mathrm{angles}\mathrm{between}\mathrm{other}\mathrm{pairs}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{diagonals}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{to}{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{between}\mathrm{any}\mathrm{two}\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{cube}\mathrm{is}{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right). \end{gathered}$$