Question

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\mathrm{interior}\angle \mathrm{A}\mathrm{of}△\mathrm{ABC}\mathrm{meets}\mathrm{BC}\text{at}\mathrm{D}.\mathrm{The}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\mathrm{exterior}\angle \mathrm{A}\mathrm{meets}\mathrm{BC}\mathrm{produced}\text{to}\mathrm{E}. \\ \mathrm{Prove}\mathrm{that}\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CE}}. \end{gathered}$$

Answer 1

$\mathrm{Construction}:\mathrm{Draw}\mathrm{seg}\mathrm{CP}\parallel \mathrm{seg}\mathrm{AE},\mathrm{meeting}\mathrm{AB}\mathrm{at}\mathrm{P}.$


$$\begin{gathered} \mathrm{In}△\mathrm{ABC}, \\ \mathrm{AD}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\angle \mathrm{BAC}. \\ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{CD}}...\left(1\right)[\mathrm{By}\mathrm{the}\mathrm{property}\mathrm{of}\mathrm{angle}\mathrm{bisector}\mathrm{of}\text{a}\mathrm{triangle}] \\ \mathrm{In}△\mathrm{ABE}, \\ \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{CP}\parallel \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{AE} \\ \therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}...\left(2\right) \\ \frac{\mathrm{BC}+\mathrm{CE}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{BP}+\mathrm{AP}}{\mathrm{AP}}\left[\mathrm{Componendo}\right] \\ \therefore \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{CE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AP}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{CP}\parallel \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{AE} \\ \angle FAE=\angle APC...\left(3\right)\{\text{C}\mathrm{orresponding}\mathrm{angles}\} \\ \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{CP}\parallel \text{S}\mathrm{eg}\mathrm{AE} \\ \angle CAE=\angle ACP...\left(4\right)\{\text{A}\mathrm{lternate}\mathrm{angles}\} \\ \angle FAE=\angle CAE...\left(5\right)\{\text{S}\mathrm{eg}\mathrm{AE}\mathrm{bisects}\angle \mathrm{FAC}\} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \therefore \angle APC=\angle ACP...\left(6\right)\{\mathrm{from}(3),(4)\text{and}(5\left)\right\} \\ In△APC,\angle APC=\angle ACP\{\mathrm{from}(6\left)\right\} \\ \therefore AP=AC...\left(7\right) \\ \frac{BE}{CE}=\frac{AB}{AC}...\left(8\right) \\ \Rightarrow \frac{BD}{CD}=\frac{BE}{CE}\{\mathrm{from}(1)\mathrm{and}(8\left)\right\} \\ \Rightarrow \frac{BD}{BE}=\frac{CD}{CE}\left(\mathrm{Alternendo}\right) \end{gathered}$$