Question

The dimensions of a rectangular box are in the ratio of 2 : 3 : 4 and the difference between the cost of covering it with sheet of paper at the rates of Rs 8 and Rs 9.50 per m² is Rs. 1248. Find the dimensions of the box.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Suppose}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{dimensions}\mathrm{be}\mathrm{x}\mathrm{multiple}\mathrm{of}\mathrm{each}\mathrm{other}. \\ \mathrm{The}\mathrm{dimensions}\mathrm{are}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{ratio}2:3:4. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{length}=2\mathrm{x}\mathrm{m} \\ \mathrm{Breadth}=3\mathrm{x}\mathrm{m} \\ \mathrm{Height}=4\mathrm{x}\mathrm{m} \\ \mathrm{So},\mathrm{total}\mathrm{surface}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rectangular}\mathrm{box}=2\times (\mathrm{length}\times \mathrm{breadth}+\mathrm{breadth}\times \mathrm{height}+\mathrm{length}\times \mathrm{height}) \\ =2\times (2\mathrm{x}\times 3\mathrm{x}+3\mathrm{x}\times 4\mathrm{x}+2\mathrm{x}\times 4\mathrm{x}) \\ =2\times (6{\mathrm{x}}^2+12{\mathrm{x}}^2+8{\mathrm{x}}^2\mathrm{)} \\ =2\times (26{\mathrm{x}}^2\mathrm{)} \\ =52{\mathrm{x}}^2{\mathrm{m}}^2 \\ \mathrm{Also},\mathrm{the}\mathrm{cost}\mathrm{of}\mathrm{covering}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{with}\mathrm{paper}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{Rs}8/{\mathrm{m}}^2\mathrm{and}\mathrm{Rs}9.50/{\mathrm{m}}^2\mathrm{is}\mathrm{Rs}1248. \\ \mathrm{Here},\mathrm{the}\mathrm{total}\mathrm{cost}\mathrm{of}\mathrm{covering}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{Rs}8/{\mathrm{m}}^2=8\times 52{\mathrm{x}}^2=\mathrm{Rs}416{\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{And}\mathrm{the}\mathrm{total}\mathrm{cost}\mathrm{of}\mathrm{covering}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{Rs}9.50/{\mathrm{m}}^2=9.50\times 52{\mathrm{x}}^2=\mathrm{Rs}494{\mathrm{x}}^2 \\ \mathrm{Now},\mathrm{total}\mathrm{cost}\mathrm{of}\mathrm{covering}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{Rs}9.50/{\mathrm{m}}^2-\mathrm{total}\mathrm{cost}\mathrm{of}\mathrm{covering}\mathrm{the}\mathrm{box}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{Rs}8/{\mathrm{m}}^2=1248 \\ \Rightarrow 494{\mathrm{x}}^2-416{\mathrm{x}}^2=1248 \\ \Rightarrow 78{\mathrm{x}}^2=1248 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2\mathrm{=}\frac{1248}{78}=16 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{16}=4 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rectangular}\mathrm{box}=2\times \mathrm{x}=2\times 4=8\mathrm{m} \\ \mathrm{Breadth}=3\times \mathrm{x}=3\times 4=12\mathrm{m} \\ \mathrm{Height}=4\times \mathrm{x}=4\times 4=16\mathrm{m} \end{gathered}$$