Question

The equation of the normals to the end points of the latus rectum of the parabola
$y^2=4ax$ are:

• A. x + y = 3a
• B. x - y = 3a
• C. x + y = a
• D. x - y = a

Answer 1

Answer: (A), (B)

x - y = 3a

Equation of latus rectum of the parabola is x = a.
It meets parabola at 2 points P(a, 2a) and Q(a, -2a).
Differentiating $y^2=4ax$ w.r.t. $x$
we get-
$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2a}{y}\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{normal}\mathrm{is}-\frac{y}{2a}\mathrm{hence},\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{normal}\mathrm{at}\mathrm{point}P(a,2a)\mathrm{is}\frac{-2a}{2a}=-1.\mathrm{Equation}\mathrm{of}\mathrm{line}\mathrm{passing}\mathrm{through}P\mathrm{having}\mathrm{slope}-1\mathrm{is}x+y=3a.\mathrm{The}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{normal}\mathrm{at}\mathrm{point}Q(a,-2a)\mathrm{is}-\left(\frac{-2a}{2a}\right)=1.\mathrm{Equation}\mathrm{of}\mathrm{line}\mathrm{passing}\mathrm{through}Q\mathrm{having}\mathrm{slope}1\mathrm{is}x-y=3a.\mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{normals}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{points}P\mathrm{and}Q\mathrm{are}:x+y=3a\mathrm{and}x-y=3a.$