Question

The following figures are parallelograms. Find the degree values of the unknowns x, y, z.

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right) \\ O\mathrm{pposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{same}. \\ \therefore \mathrm{x}=\mathrm{z}\mathrm{and}\mathrm{y}=100° \\ \mathrm{Also},\mathrm{y}+\mathrm{z}=180°(s\mathrm{um}\mathrm{of}\mathrm{adjacent}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{is}180°) \\ \mathrm{z}+100°=180° \\ \mathrm{x}=180°-100° \\ \mathrm{x}=80° \\ \therefore \mathrm{x}=80°,\mathrm{y}=100°\mathrm{and}\mathrm{z}=80° \\ \left(\mathrm{ii}\right) \\ O\mathrm{pposite}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}\mathrm{are}\mathrm{same}. \\ \therefore \mathrm{x}=\mathrm{y}\mathrm{and}\angle \mathrm{RQP}=100° \\ \angle \mathrm{PSR}+\angle \mathrm{SRQ}=180° \\ \mathrm{y}+50°=180° \\ \mathrm{x}=180°-50° \\ \mathrm{x}=130° \\ \therefore \mathrm{x}=130°,\mathrm{y}=130° \\ Since\mathrm{y}\mathrm{and}\mathrm{z}\mathrm{are}\mathrm{alternate}\mathrm{angles},\mathrm{z}=130°. \\ \left(\mathrm{iii}\right) \\ S\mathrm{um}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{angles}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{triangle}\mathrm{is}{180}^{°}. \\ \therefore 30°+90°+\mathrm{z}=180° \\ \mathrm{z}=60° \\ O\mathrm{pposite}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{in}\mathrm{parallelogram}. \\ \therefore \mathrm{y}=\mathrm{z}=60° \\ \mathrm{and}\mathrm{x}=30°(\mathrm{alternate}\mathrm{angles}) \\ \left(\mathrm{iv}\right)x=90°(\mathrm{vertically}\mathrm{opposite}\mathrm{angle}) \\ S\mathrm{um}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{angles}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{triangle}\mathrm{is}{180}^{°}. \\ \therefore \mathrm{y}+90°+30°=180° \\ \mathrm{y}=180°-(90°+30°)=60° \\ \mathrm{y}=\mathrm{z}=60°(a\mathrm{lternate}\mathrm{angles}) \\ \left(\mathrm{v}\right) \\ O\mathrm{pposite}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{in}a\mathrm{parallelogram}. \\ \therefore \mathrm{y}=80° \\ \mathrm{y}+\mathrm{x}=180° \\ \mathrm{x}=180°-100°=80° \\ \mathrm{z}=\mathrm{y}=80°(\mathrm{alternate}\mathrm{angles}) \\ \left(\mathrm{vi}\right) \\ \mathrm{y}=112°(\mathrm{opposite}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}) \\ \mathrm{In}∆\mathrm{UTW}: \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}+40°=180°(a\mathrm{ngle}\mathrm{sum}\mathrm{property}\mathrm{of}a\mathrm{triangle}) \\ \mathrm{x}=180°-(112°-40°)=28° \\ B\mathrm{ottom}\mathrm{left}\mathrm{vertex}=180°-112°=68° \\ \therefore \mathrm{z}=\mathrm{x}=28°(\mathrm{alternate}\mathrm{angles}) \end{gathered}$$