Question

The function $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\log \left(\frac{1+\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)$ satisfies the equation

• A. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+2\right)-2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$
• B. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\mathrm{f}\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\right\}$
• C. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}\right)$
• D. $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)·\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$

Answer 1

The correct option is C

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}\right)$

Explanation for correct answer :

Step 1 : Find $f\left(x\right),f\left(y\right)$

The given function is $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\log \left(\frac{1+\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)$

Replace $\mathrm{x}$ with $\mathrm{y}$.

$\mathrm{f}\left(y\right)=\log \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$

For $\mathrm{x}>0$ and $\mathrm{a}\ne 1$, $\mathrm{y}={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{x}$ if an only if $\mathrm{x}=\mathrm{a}$,

the function given by $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{x}$ is called as the logarithmic function with base $\mathrm{a}$.

Step 2: Find $f\left(x\right)+f\left(y\right)$

We will simplify the L. H. S. of the equation $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}\right)$.

L.H.S. $=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$

$\Rightarrow$ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\log \left(\frac{1+\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)+\log \left(\frac{1+\mathrm{y}}{1-\mathrm{y}}\right)$

$=\log \left(\frac{1+\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\times \frac{1+\mathrm{y}}{1-\mathrm{y}}\right)$

Apply the logarithmic property $\log \mathrm{ab}=\log \mathrm{a}+\log \mathrm{b}$. We get,

$=\log \left(\frac{1+\mathrm{y}+\mathrm{x}+\mathrm{xy}}{1-\mathrm{y}-\mathrm{x}+\mathrm{xy}}\right)$

Step 3: Find $f(x+y)$ and compare LHS and RHS

Now, We will simplify the R. H. S. of the equation $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}\right)$.

R.H.S.

$\Rightarrow$ $\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}\right)=\log \left(\frac{1+{\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}}}{1-{\displaystyle \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}}}}\right)$

$=\log \left(\frac{1+\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}}{1+\mathrm{xy}-\mathrm{x}-\mathrm{y}}\right)$

Thus, $\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.=\mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.$

Explanation for incorrect options

Option $\mathrm{A}$: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+2\right)-2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$

We will simplify the equation $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+2\right)-2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$.

$\Rightarrow$ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+2\right)-2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{x}+2}{-\mathrm{x}-1}\right)-2\log \left(\frac{\mathrm{x}+2}{-\mathrm{x}}\right)+\log \left(\frac{\mathrm{x}+1}{1-\mathrm{x}}\right)$

$=\log \frac{\mathrm{x}+3{\left(-\mathrm{x}\right)}^2}{-\left(\mathrm{x}+1\right){\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}\times \frac{\mathrm{x}+1}{1-\mathrm{x}}$

$=\log \frac{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2}{-\left({\mathrm{x}}^2+4+4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3-4\mathrm{x}-4{\mathrm{x}}^2\right)}$

$=\log \frac{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+4}$

So, $\log \frac{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+4}\ne 0$

Option $\mathrm{B}$: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\mathrm{f}\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\right\}$

We will simplify the L. H. S. of the equation $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\mathrm{f}\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\right\}$.

L.H.S. $=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)$

$\Rightarrow$ $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\log \left(\frac{\mathrm{x}+2}{-\mathrm{x}}\right)+\log \left(\frac{1+\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right)$

$=\log \left(\frac{\left(\mathrm{x}+2\right)\left(1+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)}\right)$

Now, We will simplify the R. H. S. of the equation $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+1\right)=\mathrm{f}\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\right\}$.

R.H.S. $=\mathrm{f}\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\right\}$

$\Rightarrow$ $\mathrm{f}\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)\right\}=\log \left(\frac{1+\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)}{1-\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)}\right)$

So, $\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.\ne \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.$

Option $\mathrm{D}$: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)·\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$

We will simplify the L. H. S. of the equation $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)·\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$.

L.H.S. $=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)$

$=\log \left(\frac{1+{\mathrm{x}}_1{\mathrm{x}}_2}{1-x_1{\mathrm{x}}_2}\right)$

Now

R.H.S. $=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)·\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)$

$=\log \left(\frac{1+{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2}{1-{\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2}\right)$

So, $\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.\ne \mathrm{R}.\mathrm{H}.\mathrm{S}.$

Hence, Option $\left(\mathrm{C}\right)$ is the correct answer.