Question

The harmonic mean of $\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{ab}}$ and $\frac{\mathrm{a}}{1+\mathrm{ab}}$ is

• A. $\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2}}$
• B. $\frac{\mathrm{a}}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2}$
• C. $\mathrm{a}$
• D. $\frac{1}{1-\mathrm{ab}}$

Answer 1

The correct option is C

$\mathrm{a}$

The explanation for the correct answer.

Find the harmonic mean.

Given: $\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{ab}}$and $\frac{\mathrm{a}}{1+\mathrm{ab}}$

Harmonic Mean $=\frac{2\mathrm{xy}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$

Take $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{ab}}$and $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{1+\mathrm{ab}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{xy}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{ab}}·\frac{\mathrm{a}}{1+\mathrm{ab}} \\ \mathrm{xy}=\frac{{\mathrm{a}}^2}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2}\left[\because \left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)(\mathrm{a}+\mathrm{b})={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{b}}^2\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{ab}}+\frac{\mathrm{a}}{1+\mathrm{ab}} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}\left(1+\mathrm{ab}\right)+\mathrm{a}\left(1-\mathrm{ab}\right)}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2\mathrm{b}+\mathrm{a}-{\mathrm{a}}^2\mathrm{b}}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{2\mathrm{a}}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{HM}=\frac{2\mathrm{xy}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}=\frac{2{\mathrm{a}}^2}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2}÷\frac{2\mathrm{a}}{1-{\mathrm{a}}^2{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{HM}=\mathrm{a} \end{gathered}$$

Hence option $\left(c\right)$ is the correct answer.