Question

the number of critical points of the function f(x)=|x-1||x-2| is

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\mathrm{x}-1\right|\left|\mathrm{x}-2\right| \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\left(-\left(\mathrm{x}-1\right)\right)\left(-\left(\mathrm{x}-2\right)\right),\mathrm{x}\le 1\\ \left(\mathrm{x}-1\right)\left(-\left(\mathrm{x}-2\right)\right),1\le \mathrm{x}\le 2\end{array}\\ \left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right),\mathrm{x}\ge 2\end{array}\right. \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left\{\begin{array}{l}\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right),\mathrm{x}\le 1\mathrm{and}\mathrm{x}\ge 2\\ -\left(\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}-2\right),1\le \mathrm{x}\le 2\end{array}\right. \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+2 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}-3 \\ 2\mathrm{x}-3=0 \\ \mathrm{x}=\frac{3}{2} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=-2\mathrm{x}+3 \\ \mathrm{x}=\frac{3}{2} \\ \mathrm{So},\mathrm{there}\mathrm{are}3\mathrm{critical}\mathrm{points}1,\frac{3}{2}\mathrm{and}2. \end{gathered}$$