Question

The number of non zero integers x such that -10<x<15 for which 3x³+7x² is a square of an integer is

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{A}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{that}\mathrm{required}\mathrm{number} \\ \mathrm{A}.\mathrm{T}.\mathrm{Q} \\ 3{\mathrm{x}}^3+7{\mathrm{x}}^2={\mathrm{A}}^2 \\ {\mathrm{A}}^2={\mathrm{x}}^2\left(3\mathrm{x}+7\right) \\ \mathrm{A}=\mathrm{x}\sqrt{3\mathrm{x}+7} \\ \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}-10<\mathrm{x}<15 \\ \mathrm{For}-10<\mathrm{x}\le -1 \\ \mathrm{A}\mathrm{will}\mathrm{not}\mathrm{be}\mathrm{real}. \\ \mathrm{For}\mathrm{x}=0,\mathrm{it}\mathrm{will}\mathrm{violate}\mathrm{questions}\mathrm{condition} \\ \mathrm{So}\mathrm{we}\mathrm{left}\mathrm{with}1\le \mathrm{x}<15 \\ \mathrm{So},\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{non}\mathrm{zero}\mathrm{integers}\mathrm{x}\mathrm{such}\mathrm{that}3{\mathrm{x}}^3+7{\mathrm{x}}^2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{square} \\ \mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{integer}\mathrm{is}14 \end{gathered}$$