3(sinx−cosx)4+6(sinx+cosx)2+4(sin6x+cos6x)
Let
A=3(sinx−cosx)4⇒A=3[(sinx−cosx)2]2⇒A=3(1−2sinxcosx)2⇒A=3(1−4sinxcosx+4sin2xcos2x)⇒A=3−12sinxcosx+12sin2xcos2x⋯(1)
B=6(sinx+cosx)2⇒B=6(1+2sinxcosx)⇒B=6+12sinxcosx⋯(2)
C=4(sin6x+cos6x)⇒C=4((sin2x)3+(cos2x)3)⇒C=4{(sin2x+cos2x)3−3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)}[∵x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)]⇒C=4(1−3sin2xcos2x)⇒C=4−12sin2xcos2x⋯(3)
So,
3(sinx−cosx)4+6(sinx+cosx)2+4(sin6x+cos6x)=A+B+CFrom equation (1), (2) and (3)∴A+B+C=13