Question

$\mathrm{The}\mathrm{orthogonal}\mathrm{trajectory}\mathrm{of}{y}^2=4\mathrm{ax}\mathrm{is}$.

• A. $x^2+y^2=k$
• B. $2x^2+y^2=k$
• C. $x^2-y^2=k$
• D. $x^3+y^3=k$

Answer 1

The correct option is B $2x^2+y^2=k$

$y^2=4\mathrm{ax}\mathrm{Differentiating}\mathrm{once}\mathrm{to}\mathrm{form}\mathrm{DE}.2y\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=4a\mathrm{Eliminating}\mathrm{arbitary}\mathrm{constant}:y^2=2y\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}x\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{y}{2x}\mathrm{So},\mathrm{DE}\mathrm{of}\mathrm{orthogonal}\mathrm{trajectory}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{2x}{y}\mathrm{Separating}\mathrm{variables}2\mathrm{xdx}+\mathrm{ydy}=0\mathrm{Integrating}\mathrm{to}\mathrm{get}\mathrm{the}\mathrm{orthogonal}\mathrm{trajectory}:x^2+\frac{y^2}{2}=c2x^2+y^2=2c\mathrm{Equating}2c\mathrm{to}\mathrm{another}\mathrm{constant}k2x^2+y^2=k.\mathrm{This}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{orthogonal}\mathrm{trajectory}.$