Question

The perimeter of a rhombus is 180 cm and one of its diagonals is 72 cm. Find the length of the other diagonal and the area of the rhombus.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{ABCD}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{rhombus}\mathrm{whose}\mathrm{diagonals}\mathrm{AC}\mathrm{and}\mathrm{BD}\mathrm{intersect}\mathrm{at}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{O}. \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{diagonal}\mathrm{AC}be72\mathrm{cm}\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rhombus}\mathrm{be}\mathit{}x\mathrm{cm}. \\ P\mathrm{erimeter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rhombus}=4x\mathrm{cm} \\ \mathrm{But}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{perimeter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rhombus}is180\mathrm{cm}. \\ \therefore 4x=180 \\ \Rightarrow x=\frac{180}{4} \\ \Rightarrow x=45 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rhombus}\mathrm{is}45\mathrm{cm}. \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{diagonals}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rhombus}\mathrm{bisect}\mathrm{each}\mathrm{other}\mathrm{at}\mathrm{right}\mathrm{angles}. \\ \therefore AO=\frac{1}{2}AC \\ \Rightarrow AO=\left(\frac{1}{2}\times 72\right)cm \\ \Rightarrow AO=36cm \\ \mathrm{From}\mathrm{right}∆\mathrm{AOB},\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ B{O}^2=A{B}^2-A{O}^2 \\ \Rightarrow B{O}^2=\left\{{\left(45\right)}^2-{\left(36\right)}^2\right\} \\ \Rightarrow B{O}^2=\left(2025-1296\right) \\ \Rightarrow B{O}^2=729 \\ \Rightarrow BO=\sqrt{729} \\ \Rightarrow BO=27cm \\ \therefore BD=2\times BO \\ BD=\left(2\times 27\right)cm \\ BD=54cm \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{diagonal}\mathrm{is}54\mathrm{cm}. \\ \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rhombus}=\left(\frac{1}{2}\times 72\times 54\right){\mathrm{cm}}^2 \end{gathered}$$
$=1944c{m}^2$