Question

The product of four consecutive odd natural numbers is 945. Find the numbers.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{four}\mathrm{consecutive}\mathrm{odd}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}\mathrm{are}: \\ \mathrm{x},\mathrm{x}+2,\mathrm{x}+4,\mathrm{x}+6 \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{question}: \\ \mathrm{x}\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\left(\mathrm{x}+6\right)=945 \\ \Rightarrow \left[\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+6\right)\right]\left[\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}+4\right)\right]=945 \\ \Rightarrow \left({\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}\right)\left({\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+8\right)=945 \\ \Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{y}+8\right)=945\left[\mathbf{Taking}\mathbf{}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{}\mathbf{+}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{x}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{y}\right] \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^2+8\mathrm{y}-945=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{y}}^2+35\mathrm{y}-27\mathrm{y}-945=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{y}+35\right)-27\left(\mathrm{y}+35\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{y}-27\right)\left(\mathrm{y}+35\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=27\mathrm{or}\mathrm{y}=-35 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}=27\mathrm{or}{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}=-35 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-27=0\mathrm{or}{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+35=0 \\ \mathrm{Consider},{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}-27=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2+9\mathrm{x}-3\mathrm{x}-27=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left(\mathrm{x}+9\right)-3\left(\mathrm{x}+9\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+9\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=3\mathrm{or}\mathrm{x}=-9\left(\mathrm{rejected}\right) \\ \mathrm{Consider},{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+35=0 \\ \mathrm{Now},\mathrm{a}=1;\mathrm{b}=6;\mathrm{c}=35 \\ \mathrm{Now},\mathrm{D}={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac} \\ =6^2-4\times 1\times 35 \\ =36-140 \\ =-104<0 \\ \mathrm{So},\mathrm{the}\mathrm{equation}{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+35=0\mathrm{does}\mathrm{not}\mathrm{give}\mathrm{real}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{x}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{x}=3 \\ \mathrm{Now},\mathrm{consecutive}\mathrm{odd}\mathrm{natural}\mathrm{numbers}\mathrm{are}: \\ 3,5,7,9 \end{gathered}$$