Question

The product of the digits of a two digit positive number is 24. If 18 is added to the number then the digits of the number are interchanged. Find the number.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{digit}\mathrm{at}\mathrm{ones}\mathrm{place}=\mathrm{x} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{digit}\mathrm{at}\mathrm{tens}\mathrm{place}=\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{original}\mathrm{number}=10\mathrm{y}+\mathrm{x} \\ \mathrm{Now},\mathrm{xy}=24 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{24}{\mathrm{x}}.....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{when}\mathrm{the}\mathrm{digits}\mathrm{are}\mathrm{interchanged},\mathrm{then}\mathrm{new}\mathrm{number}=10\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{question}: \\ 10\mathrm{y}+\mathrm{x}+18=10\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ \Rightarrow \mathrm{x}-\mathrm{y}=2......\left(2\right) \\ \mathrm{Put}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{y}\mathrm{from}\left(1\right)\mathrm{in}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{x}-\frac{24}{\mathrm{x}}=2 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-24=0 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+4\mathrm{x}-24=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-6\right)+4\left(\mathrm{x}-6\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{x}-6\right)\left(\mathrm{x}+4\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}-6=0\mathrm{or}\mathrm{x}+4= \\ \Rightarrow \mathrm{x}=6\mathrm{or}\mathrm{x}=-4\left(\mathrm{rejected}\right) \\ \mathrm{So},\mathrm{x}=6\mathrm{and}\mathrm{y}=\frac{24}{6}=4 \\ \mathrm{Hence}\mathrm{original}\mathrm{number}=10\times 4+6=46 \end{gathered}$$