Question

The ratio of the altitudes of a triangle is $20:15:12$. If the largest side of the triangle is $25cm$, find the measure (in $cm$) of the smallest side of the triangle.

एक त्रिभुज की ऊंचाइयों का अनुपात $20:15:12$ है। यदि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लंबाई $25$ सेमी. है, तो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की माप (सेमी. में) ज्ञात करें।

• A. 12
• B. 15
• C. 20
• D. 16

Answer 1

Answer: (B)

Given: The ratio of the altitudes of a triangle $=20:15:12$

Let the common measure be $=x$

$\Rightarrow$ Length of largest altitude $=20x$

Length of smallest altitude $=12x$

Length of middle altitude $=15x$

Let the lengths of sides be $a,b$ and $c,(a>b>c)$.

i.e., $a=25cm$

In a scalene triangle, longest altitude stands on shortest side, shortest altitude stands on longest side.

So, area of given triangle $=$

$\frac{1}{2}\times \text{Longest side}\times \text{Smallest altitude}$ (OR)

$\frac{1}{2}\times \text{Smallest side}\times \text{Longest altitude}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\times c\times 20x=\frac{1}{2}\times a\times 12x$

$\Rightarrow 20c=12a$

$\Rightarrow 20c=12\times 25cm$

$\Rightarrow c=\frac{12\times 25cm}{20}$

$\Rightarrow c=15cm$

Hence, the length of the smallest side of the triangle is $15cm$.

यदि त्रिभुज की ऊँचाई का अनुपात $=20:15:12$

$\Rightarrow$ माना सबसे बड़े शीर्षलंब की माप $=20x$

सबसे छोटे शीर्षलंब की माप $=12x$

मध्य शीर्षलंब की माप $=12x$

माना त्रिभुज के भुजाओ की लम्बाई $a,b,c$ है और $a>b>c$

अर्थात $a=25cm$

विषमबाहु त्रिभुज में सबसे बड़ा शीर्षलम्ब सबसे छोटे भुजा पर तथा सबसे छोटा शीर्षलम्ब सबसे बड़े भुजा पर स्थित होता है |

त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}\times \text{सबसे छोटी भुजा}\times \text{सबसे बड़ा शीर्षलम्ब}$ (or)

$\frac{1}{2}\times \text{सबसे बड़ी भुजा}\times \text{सबसे छोटा शीर्षलम्ब}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}\times c\times 20x=\frac{1}{2}\times a\times 12x$

$\Rightarrow 20c=12a$

$\Rightarrow 20c=12\times 25cm$

$\Rightarrow c=\frac{12\times 25cm}{20}$

$\Rightarrow c=15cm$

अत: त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की माप $15cm$ होगा |