Question

the second term of an A.P is (x-y) and the fifth term is (x+y) find the first term of the AP

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{a}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{term}\mathrm{and}\mathrm{d}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{common}\mathrm{difference}. \\ \mathrm{Now},{\mathrm{a}}_2=\mathrm{x}-\mathrm{y} \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{d}=\mathrm{x}-\mathrm{y}.....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},{\mathrm{a}}_5=\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ \Rightarrow \mathrm{a}+4\mathrm{d}=\mathrm{x}+\mathrm{y}.....\left(2\right) \\ \mathrm{Subtracting}\left(1\right)\mathrm{from}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 4\mathrm{d}-\mathrm{d}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)-\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right) \\ \Rightarrow 3\mathrm{d}=\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{x}+\mathrm{y} \\ \Rightarrow 3\mathrm{d}=2\mathrm{y} \\ \Rightarrow \mathrm{d}=\frac{2\mathrm{y}}{3} \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{a}+\frac{2\mathrm{y}}{3}=\mathrm{x}-\mathrm{y} \\ \Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{x}-\mathrm{y}-\frac{2\mathrm{y}}{3} \\ \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{3\mathrm{x}-3\mathrm{y}-2\mathrm{y}}{3} \\ \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{3\mathrm{x}-5\mathrm{y}}{3} \\ \mathrm{So},\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=\frac{3\mathrm{x}-5\mathrm{y}}{3} \end{gathered}$$