Question

The solution of the differential equation $\left[\mathrm{y}\right(1+{\mathrm{x}}^{-1})+\mathrm{siny}]\mathrm{dx}+[\mathrm{x}+\mathrm{logx}+\mathrm{xcos}\mathrm{y}]\mathrm{dy}=0$ is

• A. $\mathrm{xy}+\mathrm{ylogx}=\mathrm{c}$
• B. $\mathrm{xy}+\mathrm{xsiny}=\mathrm{c}$
• C. $\mathrm{xy}+\mathrm{ylogx}+\mathrm{xsiny}=\mathrm{c}$
• D. None of these

Answer 1

The correct option is C

$\mathrm{xy}+\mathrm{ylogx}+\mathrm{xsiny}=\mathrm{c}$

The explanation for the correct answer.

Find the solution to the equation:

Given: $\left[\mathrm{y}\right(1+{\mathrm{x}}^{-1})+\mathrm{siny}]\mathrm{dx}+[\mathrm{x}+\mathrm{logx}+\mathrm{xcos}\mathrm{y}]\mathrm{dy}=0$

Expand the given equation

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left[\mathrm{y}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\mathrm{siny}\right]\mathrm{dx}+\left[\mathrm{x}+\mathrm{logx}+\mathrm{xcosy}\right]\mathrm{dy}=0 \\ \Rightarrow \mathrm{ydx}+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\mathrm{sinydx}+\mathrm{xdy}+\mathrm{logxdy}+\mathrm{xcosydy}=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{ydx}+\mathrm{xdy}\right)+\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\mathrm{logxdy}\right)+\left(\mathrm{sinydx}+\mathrm{xcosydy}\right)=0 \\ \left[\because \left(\mathrm{ydx}+\mathrm{xdy}\right)=\mathrm{d}\left(\mathrm{xy}\right),\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+\mathrm{logxdy}\right)=\mathrm{d}\left(\mathrm{ylogx}\right),\left(\mathrm{sinydx}+\mathrm{xcosydy}\right)=\mathrm{d}\left(\mathrm{xsiny}\right)\right] \\ \Rightarrow \mathrm{d}\left(\mathrm{xy}\right)+\mathrm{d}\left(\mathrm{ylogx}\right)+\mathrm{d}\left(\mathrm{xsiny}\right)=0 \end{gathered}$$

Integrate the above equation

$\Rightarrow \mathrm{xy}+\mathrm{ylogx}+\mathrm{xsiny}=\mathrm{C}$

Hence option $C$ is the correct answer.