Question

The solution of the equation $8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}$ is/are given by

• A.
  $x=\mathrm{n\pi }+\frac{\pi }{6},n\in Z.$
• B.
  $x=n\pi -\frac{\pi }{6},n\in Z.$
• C.
  $x=\frac{\mathrm{n\pi }}{2}+\frac{\pi }{12},n\in Z.$
• D.
  $x=\frac{\mathrm{n\pi }}{2}-\frac{\pi }{12},n\in Z.$

Answer 1

Answer: (A), (D)

The correct options are
A
$x=\mathrm{n\pi }+\frac{\pi }{6},n\in Z.$
D

$x=\frac{\mathrm{n\pi }}{2}-\frac{\pi }{12},n\in Z.$
Here, the given equation:
$8\mathrm{sinx}=\frac{\sqrt{3}}{\mathrm{cosx}}+\frac{1}{\mathrm{sinx}}$
Now, we can write the equation as:
$8\mathrm{sinx}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}\mathrm{cosx}}\Rightarrow 8{\sin }^2\mathrm{xcosx}=\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\Rightarrow 4\left(2\mathrm{sinxcosx}\right)\mathrm{sinx}=\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\Rightarrow 4\sin 2\mathrm{xsinx}=\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\Rightarrow 2\left(2\sin 2\mathrm{xsinx}\right)=\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\Rightarrow 2\left(\cos \right(2x-x)-\cos (2x+x\left)\right)=\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\Rightarrow 2\mathrm{cosx}-2\cos 3x=\sqrt{3}\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}\Rightarrow \mathrm{cosx}-2\cos 3x=\sqrt{3}\mathrm{sinx}\Rightarrow \mathrm{cosx}-\sqrt{3}\mathrm{sinx}=2\cos 3x\mathrm{Now},\mathrm{dividing}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{by}2,\mathrm{we}\mathrm{get}\frac{1}{2}\mathrm{cosx}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{sinx}=\cos 3x\Rightarrow \cos \frac{\pi }{3}\mathrm{cosx}-\sin \frac{\pi }{3}\mathrm{sinx}=\cos 3x\Rightarrow \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos 3x\mathrm{Thus},\mathrm{the}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{above}\mathrm{equation}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{given}\mathrm{as}:3x=2\mathrm{n\pi }\pm \left(x+\frac{\pi }{3}\right),n\in Z.\mathrm{Now},\mathrm{taking}\mathrm{positive}\mathrm{sign},\mathrm{we}\mathrm{get}3x=2\mathrm{n\pi }+\left(x+\frac{\pi }{3}\right),n\in Z.\Rightarrow 2x=2\mathrm{n\pi }+\frac{\pi }{3},n\in Z.\Rightarrow x=\mathrm{n\pi }+\frac{\pi }{6},n\in Z.\mathrm{Also},\mathrm{taking}\mathrm{negative}\mathrm{sign},\mathrm{we}\mathrm{get}:3x=2\mathrm{n\pi }-\left(x+\frac{\pi }{3}\right),n\in Z.\Rightarrow 4x=2\mathrm{n\pi }-\frac{\pi }{3},n\in Z.\Rightarrow x=\frac{\mathrm{n\pi }}{2}-\frac{\pi }{12},n\in Z.$