Question

The statement P(n) = $4^n-1\ge 3^n$ is true for which of the following options?

• A. $n\in N-\left(1\right\}$
• B. $n\in N$
• C. $\mathrm{only}\mathrm{for}n\ge 7$
• D. $\mathrm{no}\mathrm{natural}\mathrm{number}$

Answer 1

The correct option is B $n\in N$

$\mathrm{For}n=1,\mathrm{LHS}=4-1=3\mathrm{and}\mathrm{RHS}=3\mathrm{So}\mathrm{LHS}=\mathrm{RHS}\Rightarrow P\left(1\right)\mathrm{is}\mathrm{true}.$
$\mathrm{Let}P\left(k\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{some}\mathrm{natural}\mathrm{number}k,i.e.,4^k-1\ge 3^k...\left(1\right)\mathrm{We}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{prove}\mathrm{that}P\left(k+1\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{whenever}P\left(k\right)\mathrm{is}\mathrm{true}.\mathrm{Consider}{4}^{k+1}-1=4.4^k-1=4\left(4^k-1+1\right)-1=4.\left(4^k-1\right)+4-1\ge 4.3^k+3\left(\mathrm{Using}\left(1\right)\right]>4.3^k>3.3^k=3^{k+1}i.e.,4^{k+1}-1\ge 3^{k+1}\mathrm{Therefore},P\left(k+1\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{whenever}P\left(k\right)\mathrm{is}\mathrm{true}.\mathrm{Hence},\mathrm{by}\mathrm{principal}\mathrm{of}\mathrm{mathematical}\mathrm{induction},P\left(n\right)\mathrm{is}\mathrm{true}\mathrm{for}\mathrm{every}\mathrm{natural}\mathrm{number}.$