Question

the sum of first 9 terms of an AP is 171 and that of first 24 terms is 996.find AP

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{a}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{term}\mathrm{and}\mathrm{d}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{common}\mathrm{difference}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{AP}\mathrm{is}, \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{Now},{\mathrm{S}}_9=171 \\ \Rightarrow \frac{9}{2}\left(2\mathrm{a}+8\mathrm{d}\right)=171 \\ \Rightarrow 9\left(\mathrm{a}+4\mathrm{d}\right)=171 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+4\mathrm{d}=19....\left(1\right) \\ {\mathrm{S}}_{24}=996 \\ \Rightarrow \frac{24}{2}\left[2\mathrm{a}+23\mathrm{d}\right]=996 \\ \Rightarrow 12\left(2\mathrm{a}+23\mathrm{d}\right)=996 \\ \Rightarrow 2\mathrm{a}+23\mathrm{d}=83....\left(2\right) \\ \mathrm{Multiply}\left(1\right)\mathrm{by}2,\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 2\mathrm{a}+8\mathrm{d}=38......\left(3\right) \\ \mathrm{Subtracting}\left(3\right)\mathrm{from}\left(2\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ 15\mathrm{d}=45 \\ \Rightarrow \mathrm{d}=3 \\ \mathrm{Put}\mathrm{d}=3\mathrm{in}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \mathrm{a}+4\times 3=19 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+12=19 \\ \Rightarrow \mathrm{a}=19-12=7 \\ \mathrm{So},\mathrm{AP}\mathrm{is}7,10,13,16,............ \end{gathered}$$