Question

The sum of the infinite series $\frac{1.3}{2}+\frac{3.5}{2^2}+\frac{5.7}{2^4}+\frac{7.9}{2^4}+......\infty =$

Answer 1

$S=\frac{3}{2}+\frac{15}{2^2}+\frac{35}{2^3}+\frac{63}{2^4}+....\infty$ --- ( 1 )

$\frac{S}{2}=0+\frac{3}{2^2}+\frac{15}{2^3}+\frac{35}{2^4}+\frac{63}{2^5}+....\infty$ ----- ( 2)

Subtracting ( 2 ) from ( 1 ),

$S-\frac{S}{2}=\frac{3}{2}+\frac{12}{2^2}+\frac{20}{2^3}+\frac{28}{2^4}+....\infty$

$\frac{S}{2}=\frac{3}{2}+4[\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+....\infty ]$

Let $X=\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+....\infty$ ---- ( 3 )

$\frac{X}{2}=0+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+\frac{7}{2^5}+...\infty$ ---- ( 4 )

Subtracting ( 4 ) from ( 3 ) we get,

$\frac{X}{2}=\frac{3}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+\frac{2}{2^5}+....\infty$

$\frac{X}{2}=\frac{3}{4}+2\left[\frac{\frac{1}{2^3}}{1-\frac{1}{2}}\right]$

$\frac{X}{2}=\frac{3}{4}+2\left[\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}}\right]$

$\frac{X}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}$

$\frac{X}{2}=\frac{5}{4}$

$X=\frac{5}{2}$

Now,

$\frac{S}{2}=\frac{3}{2}+4X$

$\Rightarrow$ $\frac{S}{2}=\frac{3}{2}+4X$

$\Rightarrow$ $\frac{S}{2}=\frac{23}{2}$

$\therefore$ $S=23$