Question

The sum of the infinite series $\frac{2}{3!}+\frac{4}{5!}+\frac{6}{7!}+...to\infty$ is xe .Find x

(JEE 98)

Answer 1

$S=\frac{2}{3!}+\frac{4}{5!}+\frac{6}{7!}..\infty$
$=\frac{3-1}{3!}+\frac{5-1}{5!}+\frac{7-1}{7!}+...\infty$
$=\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}..\infty$
$=1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}..\infty$
$=1+\frac{(-1{)}^1}{1!}+\frac{(-1{)}^2}{2!}+\frac{(-1{)}^3}{3!}+\frac{(-1{)}^4}{4!}+\frac{(-1{)}^5}{5!}..\infty$
$=e^{-1}$