Question

The sum of the interior angles of a regular polygon is four times the sum of its exterior angles.find the number of sides in the polygon.Also,find the measure of each exterior angle and each interior angles.

Answer 1

Dear student

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{exterior}\mathrm{angles}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{polygon}=360° \\ \mathrm{Given}: \\ \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interior}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{polygon}=4\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{exterior}\mathrm{angles} \\ \Rightarrow \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interior}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{polygon}=4\times 360° \\ \Rightarrow \mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interior}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{polygon}=1440° \\ \mathrm{Also}\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{interior}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{polygon}=\left(\mathrm{n}-2\right)180° \\ \Rightarrow 1440°=\left(\mathrm{n}-2\right)180°,\mathrm{where}\mathrm{n}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{sides} \\ \Rightarrow \mathrm{n}-2=\frac{1440°}{180°} \\ \Rightarrow \mathrm{n}-2=8 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=8+2 \\ \Rightarrow \boxed{\mathbf{n}\mathbf{=}\mathbf{10}} \\ \mathrm{Also},\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that}: \\ \mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{polygon}=\frac{360°}{\mathrm{each}\mathrm{exterior}\mathrm{angle}} \\ \Rightarrow 10=\frac{360°}{\mathrm{each}\mathrm{exterior}\mathrm{angle}} \\ \Rightarrow \mathrm{each}\mathrm{exterior}\mathrm{angle}=36° \\ \mathrm{and}\mathrm{exterior}\mathrm{angle}+\mathrm{interior}\mathrm{angle}=180° \\ \Rightarrow 36°+\mathrm{interior}\mathrm{angle}=180° \\ \Rightarrow \mathrm{interior}\mathrm{angle}=144° \end{gathered}$$
Regards