Question

The sum of the series $\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}-..\infty$ is

• A. $lo{g}_{e}2$
• B. $2lo{g}_{e}2$
• C. $lo{g}_{e}2-1$
• D. $lo{g}_e\frac{4}{e}$

Answer 1

Answer: (D)

$lo{g}_e\frac{4}{e}$

Let given series: $s=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}-...\infty$

let: $s_1=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...\infty$

$t_n=\frac{1}{(2n-1)\left(2n\right)}$

$t_n=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$

$\therefore \sum s_n=\sum t_n$

$\sum s_n=\sum (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})$

$t_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-...\infty$

$t_n=lo{g}_{e}2$......Eq:01

Solve: $s_2=\frac{1}{2.3}+\frac{1}{4.5}+\frac{1}{6.7}+...\infty$

$\therefore \sum s_n=\sum t_n^{{}^{\prime }}$

$\sum s_n=\sum (\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1})$

$t_n^{{}^{\prime }}=\frac{1}{\left(2n\right)(2n+1)}$

$t_n^{{}^{\prime }}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}$

$t_n^{{}^{\prime }}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...\infty$

$t_n^{{}^{\prime }}=1-lo{g}_{e}2$......Eq:02

$t_n^{{}^{\prime }}=-(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...\infty )$

$t_n^{{}^{\prime }}=-(lo{g}_{e}2-1)$

$t_n^{{}^{\prime }}=1-lo{g}_{e}2$......Eq:02

Required summation of series (s)= Eq:01-Eq:02;

$s=t_n^{{}^{\prime }}-t_n$

$s=lo{g}_{e}2-1+lo{g}_{e}2$

$s=2lo{g}_{e}2$

$s=lo{g}_e{2}^2$

$s=lo{g}_{e}4$

$s=log\frac{4}{e}$

Option (D) is correct.