Question

The sum of the series
$\frac{1}{{\log }_2^4}+\frac{1}{{\log }_4^4}+\frac{1}{{\log }_8^4}+\dots \dots \dots \dots +\frac{1}{{\log }_{2^4}^4}$

• A. $\frac{n(n+1)}{2}$
• B. $\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$
• C. $\frac{1}{n(n+1)}$
• D. $\frac{n(n+1)}{4}$

Answer 1

Answer: (D)

$\frac{n(n+1)}{4}$

The sum of the series

$=\frac{1}{lo{g}_2^4}+\frac{1}{lo{g}_4^4}+...+\frac{1}{lo{g}_{2n}^4}$

$=\frac{lo{g}_e^2}{lo{g}_e^4}+\frac{lo{g}_e^{2^2}}{lo{g}_e^4}+..+\frac{lo{g}_e^{2^n}}{lo{g}_e^4}.$

$=\frac{lo{g}_e^2+lo{g}_e^{2^2}+lo{g}_e^{2^3}+...lo{g}_e^{2^n}}{lo{g}_e^4}$

$=\frac{lo{g}_e[{2.2}^2{.2}^3..{.2}^n]}{lo{g}_e^4}$

$=\frac{lo{g}_e\left[2^{1+2+3+...+n}\right]}{lo{g}_e^4}=\frac{lo{g}_e^{2^{{}^{n(n+1)/2}}}}{lo{g}_e^{2^2}}$

$=\frac{\frac{n(n+1)}{2}lo{g}_e^2}{2lo{g}_e^2}=\frac{n(n+1)}{4}$ (d)