Question

The value of determinant $\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$ is equal to

• A. $(1-a^2-b^2{)}^3$
• B. $(a+b+1{)}^2(ab+b+a)$
• C. $(1+a^2+b^2{)}^3$
• D. $(1-a^2+b^2{)}^3$

Answer 1

The correct option is C $(1+a^2+b^2{)}^3$

$\Delta =\frac{1}{ab}\left|\begin{array}{ccc}b(1+a^2-b^2)& 2a{b}^2& -2b^2\\ 2a^{2}b& a(1-a^2+b^2)& 2a^2\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|by(R_1\times b,R_2\times a)\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2b^2& -2b^2\\ 2a^2& 1-a^2+b^2& 2a^2\\ 2& -2& 1-a^2-b^2\end{array}\right|by(\frac{C_1}{b},\frac{C_2}{a})\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2& 0& -2b^2\\ 1+a^2+b^2& 1+a^2+b^2& 2a^2\\ 0& -(1+a^2+b^2)& 1-a^2-b^2\end{array}\right|(C_1\to C_1+C_2,C_2\to C_2+C_3)=(1+a^2+b^2{)}^3$