Question

The value of sum $\mathrm{1.2.3}+\mathrm{2.3.4}+\mathrm{3.4.5}+....uptonterms=$

• A. $\frac{1}{6}{n}^2(2n^2+1)$
• B. $\frac{1}{6}{(n}^2-1\left)\right(2n-1\left)\right(2n+3)$
• C. $\frac{1}{8}{(n}^2+1\left)\right(n^2+5)$
• D. $\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

Answer 1

Answer: (D)

$\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

$\mathrm{1.2.3}+\mathrm{2.3.4}+\mathrm{3.4.5}+.........nterms$
$T_n=n(n+1)(n+2)$
$=n^3+3n^2+2n$
$T_1=1^3+3\left(1^2\right)+2\left(1\right)$
$T_2=2^3+3\left(2^2\right)+2\left(2\right)$
$T_3=3^3+3\left(3^2\right)+2\left(3\right)$

$T_n=n^3+3n^2+2n$
$S_{n=}={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2+3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+2\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$
$=\frac{n(n+1)}{2}[\frac{n(n+1)}{2}+3\left(\frac{2n+1}{3}\right)+2]$
$=\frac{n(n+1)}{2}[\frac{n(n+1)}{2}+(2n+1)+2]$
$=\frac{n(n+1)}{2}\left[\frac{n^2+5n+6}{2}\right]$
$=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$