Question

The value of the determinant $\left(\begin{array}{ccc}x& a& x+a\\ y& b& y+b\\ z& c& z+c\end{array}\right|$ is

• A. $0$
• B. $\mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}$
• C. $x^2+y^2+z^2$
• D. $a^2+b^2+c^2$

Answer 1

The correct option is A $0$

$\left(\begin{array}{ccc}x& a& x+a\\ y& b& y+b\\ z& c& z+c\end{array}\right|\mathrm{The}\mathrm{upper}\mathrm{matrix}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{expressed}\mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{determinants}\mathrm{as}\left(\begin{array}{ccc}x& a& a\\ y& b& b\\ z& c& c\end{array}\right|+\left(\begin{array}{ccc}x& a& x\\ y& b& y\\ z& c& z\end{array}\right|\mathrm{Since},\mathrm{two}\mathrm{columns}\mathrm{are}\mathrm{same}\mathrm{in}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{matrices},\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc}x& a& a\\ y& b& b\\ z& c& c\end{array}\right|=0\mathrm{and}\left(\begin{array}{ccc}x& a& x\\ y& b& y\\ z& c& z\end{array}\right|=0\mathrm{Hence},\mathrm{their}\mathrm{sum}\mathrm{is}0$