Question

The value of the sum $\mathrm{1.2.3}+\mathrm{2.3.4}+\mathrm{3.4.5}+$ upto $n$ terms $=$

• A. $\frac{1}{6}{n}^2(2n^2+1)$
• B. $\frac{1}{6}(n^2-1)(2n-1)(2n+3)$
• C. $\frac{1}{8}(n^2+1)(n^2+5)$
• D. $\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

Answer 1

Answer: (D)

$\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

$\mathrm{1.2.3}+\mathrm{2.3.4}+\mathrm{3.4.5}+................nterms$
$t_n=n(n+1)(n+2)$
$=n(n^2+3n+2)$
$=n^3+3n^2+2n$
$S_n=\sum t_n$
$=\sum n^3+3\sum n^2+2\sum n$
$={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2+3\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$
$=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}+\frac{n(n+1)}{1}$
$=n(n+1)[\frac{n(n+1)}{4}+\frac{2n+1}{2}+1]$
$=n(n+1)\left[\frac{n(n+1)+2(2n+1)+4}{4}\right]$
$=n(n+1)\left[\frac{n^2+n+4n+2+4}{4}\right]$
$=n(n+1)\left[\frac{n^2+5n+6}{4}\right]$
$=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$