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Question
Using elementary transformations, find the inverse of matrix ⎡⎢⎣2−332233−22⎤⎥⎦, if it exists.
Using elementary transformations, find the inverse of matrix ⎡⎢⎣2−332233−22⎤⎥⎦, if it exists.
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Solution
Let A=⎡⎢⎣2−332233−22⎤⎥⎦
We know that A=IA
⇒⎡⎢⎣2−332233−22⎤⎥⎦=⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦A
Applying R1→R12
⇒⎡⎢
⎢
⎢⎣22(−3)2322233−22⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢⎣120202010001⎤⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢
⎢
⎢⎣1(−3)2322233−22⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢⎣1200010001⎤⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R2→R2−2R1
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−32322−2(1)2−2(−32)3−2(32)3−22⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣12000−2(12)1−2(0)0−2(0)001⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32320503−22⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢⎣1200−110001⎤⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R3→R3−3R1
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−32320503−3(1)−2−3(−32)2−3(32)⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1200−1100−3(12)0−3(0)1−3(0)⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−3232050052−52⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1200−110−3201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R2→R25
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1−3232010052−52⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1200−15150−3201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R1→R1+32R2
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1+32(0)−32+32(1)32+32(0)010052−52⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣12+32(−15)0+32(15)0+32(0)−15150−3201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣1032010052−52⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣153100−15150−3201⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R3→R3−52R2
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣103201000−52⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣153100−15150−32−52(−15)0−52(15)1−52(0)⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣103201000−52⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣153100−15150−1−121⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R3→−25R3
⇒⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣10320100(−25)0(−25)−52(−25)⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣153100−15150−1(−25)−12(−25)1(−25)⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢
⎢
⎢⎣1032010001⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣153100−151502515−25⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
Applying R1→R1−32R3
⇒⎡⎢
⎢
⎢⎣1−32(0)0−32(0)32−32(1)010001⎤⎥
⎥
⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣15−32(25)310−32(15)0−32(−25)−151502515−25⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−25035−151502515−25⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
⇒I=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−25035−151502515−25⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦A
This is similar to I=A−1A
Thus, A−1=⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣−25035−151502515−25⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
We know that A=IA
⇒⎡⎢⎣2−332233−22⎤⎥⎦=⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦A
Applying R1→R12
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢⎣22(−3)2322233−22⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣120202010001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1(−3)2322233−22⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1200010001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R2→R2−2R1
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−32322−2(1)2−2(−32)3−2(32)3−22⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣12000−2(12)1−2(0)0−2(0)001⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−32320503−22⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1200−110001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R3→R3−3R1
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−32320503−3(1)−2−3(−32)2−3(32)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1200−1100−3(12)0−3(0)1−3(0)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−3232050052−52⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1200−110−3201⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R2→R25
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−3232010052−52⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1200−15150−3201⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R1→R1+32R2
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1+32(0)−32+32(1)32+32(0)010052−52⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣12+32(−15)0+32(15)0+32(0)−15150−3201⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1032010052−52⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣153100−15150−3201⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R3→R3−52R2
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣103201000−52⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣153100−15150−32−52(−15)0−52(15)1−52(0)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣103201000−52⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣153100−15150−1−121⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R3→−25R3
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣10320100(−25)0(−25)−52(−25)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣153100−15150−1(−25)−12(−25)1(−25)⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1032010001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣153100−151502515−25⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
Applying R1→R1−32R3
⇒⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−32(0)0−32(0)32−32(1)010001⎤⎥ ⎥ ⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣15−32(25)310−32(15)0−32(−25)−151502515−25⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒⎡⎢⎣100010001⎤⎥⎦=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−25035−151502515−25⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
⇒I=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−25035−151502515−25⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦A
This is similar to I=A−1A
Thus, A−1=⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−25035−151502515−25⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
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