Question

Using integration, find the area of the triangular region, the equations of whose sides are y = 2x + 1, y = 3x + 1 and x = 4.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Solving}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{equations} \\ \mathrm{The}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{three}\mathrm{lines}\mathrm{are}\mathrm{A}(0,1),\mathrm{B}(4,13)\mathrm{and}\mathrm{C}(4,9). \\ \mathrm{We}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{find}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{ABC} \\ \mathrm{Area}\mathrm{under}\mathrm{line}\mathrm{AB}=\mathrm{area}\mathrm{OABCL} \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{OABCL}={\int }_0^4\left(3x+1\right)dx\left[\mathrm{Equation}\mathrm{of}\mathrm{BC}\mathrm{is}y=3x+1\mathrm{and}x\mathrm{moves}\mathrm{from}\mathrm{A},x=0\mathrm{to}\mathrm{B},x=4\right] \\ ={\left[3\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\mathrm{x}\right]}_0^4 \\ =\left[3\frac{4^2}{2}+4\right] \\ =24+4=28\mathrm{sq}.\mathrm{units} \\ \mathrm{Area}\mathrm{under}\mathrm{line}\mathrm{BC}=\mathrm{Area}\mathrm{OACL} \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{OACL}={\int }_0^4\left(2\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx}\left[\mathrm{Equation}\mathrm{of}\mathrm{BC}\mathrm{is}y=2x+1\mathrm{and}x\mathrm{moves}\mathrm{from}\mathrm{A},x=0\mathrm{to}\mathrm{C},x=4\right] \\ ={\left[2\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\mathrm{x}\right]}_0^4 \\ =16+4=20\mathrm{sq}.\mathrm{units} \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{\Delta ABC}\hspace{0.17em}=\mathrm{Area}\mathrm{OABCL}-\mathrm{Area}\mathrm{OACL} \\ \Rightarrow \mathrm{Area}\mathrm{\Delta ABC}=28-20=8\mathrm{sq}.\mathrm{units} \\ \therefore \mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{triangle}\mathrm{formed}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{three}\mathrm{given}\mathrm{lines}=8\mathrm{sq}.\mathrm{units} \end{gathered}$$