Question

What is the slope of the normal to the following curve when the points given are (1,-4) : "y=x³-5x²-x+1"?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{is} \\ \mathrm{y}={\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=3{\mathrm{x}}^2-10\mathrm{x}-1 \\ \mathrm{The}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{tangent}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{at}\left(1,-4\right)\mathrm{is} \\ {\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)}_{\left(1,-4\right)}=3{\left(1\right)}^2-10\left(1\right)-1=-8. \\ \mathrm{Also},\mathrm{if}\mathrm{m}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{tangent}\mathrm{to}\mathrm{a}\mathrm{curve}\mathrm{at}\mathrm{point}\mathrm{and}\mathrm{m}\text{'}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{normal} \\ \mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{at}\mathrm{that}\mathrm{point}.\mathrm{Then} \\ \mathrm{m}\times \mathrm{m}\text{'}=-1 \\ \Rightarrow \mathrm{m}\text{'}=-\frac{1}{\mathrm{m}} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{normal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{curve}\mathrm{at}\left(1.-4\right)\mathrm{is}-\frac{1}{-8}=\frac{1}{8}. \end{gathered}$$