Question

when can we consider a quadrilateral ABCD whose angles are in the ratio 1:3:7:9 , to be a trapezium or a parallelogram?

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{of}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{ABCD}\mathrm{be}\mathrm{x},3\mathrm{x},7\mathrm{x}\mathrm{and}9\mathrm{x} \\ \mathrm{Since}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{angles}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{quadrilateral}\mathrm{are}{360}^0,\mathrm{Therefore}, \\ \mathrm{x}+3\mathrm{x}+7\mathrm{x}+9\mathrm{x}={360}^0 \\ 20\mathrm{x}={360}^0 \\ \mathrm{x}={18}^0 \\ \mathrm{Thus},\mathrm{angles}\mathrm{are},\angle \mathrm{A}=\mathrm{x}={18}^0 \\ \angle \mathrm{B}=3\mathrm{x}=3\times {18}^0={54}^0 \\ \angle \mathrm{C}=7\mathrm{x}=7\times {18}^0={126}^0 \\ \angle \mathrm{D}=9\mathrm{x}=9\times {18}^0={162}^0 \\ \mathrm{Now},\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}={18}^0+{54}^0\ne {180}^0\Rightarrow \mathrm{AD}\cancel{\left|\right|}\mathrm{BC} \\ \mathrm{And},\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}={54}^0+{126}^0={180}^0\Rightarrow \mathrm{AB}\left|\right|\mathrm{CD} \\ \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{D}=18+162=180°\Rightarrow \mathrm{AB}\left|\right|\mathrm{CD} \\ \Rightarrow \mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{trapezium}. \\ \mathrm{Since}\mathrm{both}\mathrm{pair}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{sides}\mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{parallel}\mathrm{therefore}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{parallelogram}. \end{gathered}$$