Question

$\text{Which of the following is/are a solution}\text{of the differential equation}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=e^x?$

• A. ${\text{y = e}}^x$
• B. ${\text{y = e}}^{-x}$
• C. ${\text{y = e}}^x\text{+1}$
• D. ${\text{y = e}}^{-x}\text{-1}$

Answer 1

Answer: (A), (C)

${\text{y = e}}^x\text{+1}$

$y=f\left(x\right)\mathrm{is}a\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{if}\mathrm{it}\mathrm{satisfies}\mathrm{the}\mathrm{equation}.\mathrm{Substitute}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}y\left(x\right)\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{DE}\mathrm{to}\mathrm{find}\mathrm{out}\mathrm{which}\mathrm{is}/\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{solution}\left(s\right).\mathrm{For}y=e^x,\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{d\left(e^x\right)}{\mathrm{dx}}=e^x\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{RHS}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{DE}.\mathrm{Hence}y=e^x\mathrm{is}a\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{DE}.\mathrm{For}y=e^{-x},\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{d\left(e^{-x}\right)}{\mathrm{dx}}=-e^{-x}\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{RHS}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{DE}.\mathrm{Hence}y=e^{-x}\mathrm{is}\mathrm{not}a\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{DE}.\mathrm{Similarly}\mathrm{we}\mathrm{can}\mathrm{check}\mathrm{for}\mathrm{the}\mathrm{other}2\mathrm{options}.$