Question

[x/(2y+z-x)] = [y/(2z+x-y)] = [z/(2x+y-z)] and x+y+z not equal to 0, then what is each ratio equal to:

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}, \\ \mathrm{If}\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{s}},\mathrm{then}\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{s}}=\frac{\mathrm{p}+\mathrm{r}}{\mathrm{q}+\mathrm{s}} \\ \mathrm{Now},\frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{y}+\mathrm{z}-\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{z}+\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{z}}{2\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{2\mathrm{y}+\mathrm{z}-\mathrm{x}+2\mathrm{z}+\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{2\mathrm{y}+\mathrm{z}-\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{y}}{2\mathrm{z}+\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{z}}{2\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{2\mathrm{x}+2\mathrm{y}+2\mathrm{z}}=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)}{2\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\right)}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$