Question

z1 and z2 are two complex numbers such that Iz1I=Iz2I and arg (z1 ) + arg (z 2 ) = π, then show that z1 = − conjugate z2

Answer 1

Dear student

$$\begin{gathered} letz1=x+iy \\ andz2=a+ib \\ \left|z1\right|=\left|z2\right| \\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a^2+b^2} \\ {x}^2+y^2=a^2+b^2---\left(1\right) \\ arg\left(z1\right)+arg\left(z2\right)=\mathrm{\pi } \\ \tan \left(\arg \right(\mathrm{z}1)+\arg (\mathrm{z}2\left)\right)=\mathrm{tan\pi }=0 \\ \tan \left(\arg \right(\mathrm{z}1\left)\right)+\mathrm{tanarg}\left(\mathrm{z}2\right)=0 \\ \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=0 \\ \mathrm{y}=-\frac{\mathrm{bx}}{\mathrm{a}} \\ \mathrm{putting}\mathrm{in}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2 \\ {\mathrm{x}}^2+\frac{{\mathrm{b}}^2{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{a}}^2}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2 \\ {\mathrm{x}}^2={\mathrm{a}}^2 \\ \mathrm{x}=\pm \mathrm{a} \\ \mathrm{y}=-\mathrm{b}\mathrm{or}+\mathrm{b} \\ \mathrm{so},\mathrm{z}1=\mathrm{a}-\mathrm{ib},\mathrm{z}2=\mathrm{a}+\mathrm{ib}, \\ \mathrm{or}\mathrm{z}1=-\mathrm{a}+\mathrm{ib},\mathrm{z}2=\mathrm{a}+\mathrm{ib} \\ \mathrm{but}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{case}\mathrm{of}\mathrm{z}1=\mathrm{a}-\mathrm{ib},\mathrm{z}2=\mathrm{a}+\mathrm{ib}, \\ \arg \left(\mathrm{z}1\right)+\arg \left(\mathrm{z}2\right)=0 \\ \mathrm{So},\mathrm{z}1=-\mathrm{a}+\mathrm{ib}=-(\mathrm{a}-\mathrm{ib})=-\mathrm{conjugatez}2 \end{gathered}$$

Regards