Question

If $\mathrm{A}$ is a symmetric and $\mathrm{B}$ skew-symmetric matrix and $\mathrm{A}+\mathrm{B}$ is non-singular and $\mathrm{C}={(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{-1}(\mathrm{A}-\mathrm{B})$, then prove that

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right){\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ \left(\mathrm{ii}\right){\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}-\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}-\mathrm{B} \\ \left(\mathrm{iii}\right){\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AC}=\mathrm{A} \end{gathered}$$

Answer 1

Step 1: To prove ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})$

$\mathrm{A}$ is symmetric. So, ${\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}=\mathrm{A}$

$\mathrm{B}$ is skew-symmetric. So, ${\mathrm{B}}^{\mathrm{T}}=-\mathrm{B}$

It is given that, $\mathrm{C}={(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{-1}(\mathrm{A}-\mathrm{B})$

Multiply it by $(\mathrm{A}+\mathrm{B})$

$$\begin{gathered} \Rightarrow (\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=(\mathrm{A}+\mathrm{B}){(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{-1}(\mathrm{A}-\mathrm{B}) \\ \Rightarrow (\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}-\mathrm{B}..\left(\mathrm{i}\right) \end{gathered}$$

Now,

$\Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}={\left[{(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{-1}\right(\mathrm{A}-\mathrm{B}\left)\right]}^{\mathrm{T}}$

$={(\mathrm{A}-\mathrm{B})}^{\mathrm{T}}({{(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{-1})}^{\mathrm{T}}$ $\left[\because {\left(\mathrm{AB}\right)}^T=B^T{A}^T\right]$

$=({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}–{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}})({(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ $\left[A^T=A\mathrm{and}{B}^T=-B\right]$

$=(\mathrm{A}+\mathrm{B}){(\mathrm{A}–\mathrm{B})}^{-1}..\left(\mathrm{ii}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=(\mathrm{A}+\mathrm{B}){(\mathrm{A}–\mathrm{B})}^{-1}(\mathrm{A}–\mathrm{B}) \\ \Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})..\left(\mathrm{iii}\right) \end{gathered}$$

Hence, ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})$

Step 2: To prove ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}-\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}-\mathrm{B}$

Now, taking the transpose of $\left(\mathrm{iii}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \left[{\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\right(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}{]}^{\mathrm{T}}={(\mathrm{A}+\mathrm{B})}^{\mathrm{T}} \\ \Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}{\left[\right(\mathrm{A}+\mathrm{B}\left)\right]}^{\mathrm{T}}\mathrm{C}={\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}} \\ \Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}({\mathrm{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathrm{B}}^{\mathrm{T}})\mathrm{C}=\mathrm{A}–\mathrm{B} \\ \Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}-\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}-\mathrm{B}..\left(\mathrm{iv}\right) \end{gathered}$$

Hence, ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}-\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}-\mathrm{B}$

Step 3: To prove ${\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AC}=\mathrm{A}$

Now, add $\left(\mathrm{iii}\right)$ and $\left(\mathrm{iv}\right)$

$\begin{array}{rcl}& \Rightarrow & {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}+\mathrm{B})\mathrm{C}+{\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}(\mathrm{A}-\mathrm{B})\mathrm{C}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{A}-\mathrm{B}\\ & \Rightarrow & {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}[\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{A}-\mathrm{B}]\mathrm{C}=2\mathrm{A}\\ \Rightarrow 2{\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AC}& =& 2\mathrm{A}\\ \Rightarrow {\mathrm{C}}^{\mathrm{T}}\mathrm{AC}& =& \mathrm{A}\end{array}$

Hence, ${\mathbf{\text{C}}}^{\mathbf{T}}\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{=}\mathit{A}$

Hence, all parts are proved

$$\begin{gathered} \mathbf{\left(}\mathbf{i}\mathbf{\right)}\mathbf{}{\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{B}\mathbf{)}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{+}\mathbf{B}\mathbf{} \\ \mathbf{\left(}\mathit{i}\mathit{i}\mathbf{\right)}\mathbf{}{\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathbf{(}\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{B}\mathbf{)}\mathbf{C}\mathbf{=}\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{B}\mathbf{} \\ \mathbf{\left(}\mathit{i}\mathit{i}\mathit{i}\mathbf{\right)}\mathbf{}{\mathbf{C}}^{\mathbf{T}}\mathit{A}\mathit{C}\mathbf{=}\mathbf{A} \end{gathered}$$