Question

If $\tan \left(\mathrm{A}\right)+\tan \left(\mathrm{B}\right)+\tan \left(\mathrm{C}\right)=\tan \left(\mathrm{A}\right)·\tan \left(\mathrm{B}\right)·\tan \left(\mathrm{C}\right)$ then conclude about $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$.

Answer 1

Use tangent of sum of angle formula

Given, $\tan \left(\mathrm{A}\right)+\tan \left(\mathrm{B}\right)+\tan \left(\mathrm{C}\right)=\tan \left(\mathrm{A}\right)·\tan \left(\mathrm{B}\right)·\tan \left(\mathrm{C}\right)$

from the standard formula,

$\Rightarrow \tan \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}\right)=\frac{\tan \left(\mathrm{A}\right)+\tan \left(\mathrm{B}\right)+\tan \left(\mathrm{C}\right)-\tan \left(\mathrm{A}\right)·\tan \left(\mathrm{B}\right)·\tan \left(\mathrm{C}\right)}{1-\tan \left(\mathrm{A}\right)·\tan \left(\mathrm{B}\right)-\tan \left(\mathrm{A}\right)·\tan \left(\mathrm{C}\right)-\tan \left(\mathrm{B}\right)·\tan \left(\mathrm{C}\right)}$

Since $\tan \left(\mathrm{A}\right)+\tan \left(\mathrm{B}\right)+\tan \left(\mathrm{C}\right)=\tan \left(\mathrm{A}\right)·\tan \left(\mathrm{B}\right)·\tan \left(\mathrm{C}\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \tan \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}={\tan }^{-1}\left(0\right) \\ \Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\mathrm{n\pi } \end{gathered}$$

If $\mathrm{n}=1$,

$\Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180°$.

Therefore, sum of $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ and $\mathrm{C}$ is an integral multiple of $\mathrm{\pi }$.