Question

In $\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}$, if $\cos \mathrm{A}=\sin \mathrm{B}-\cos \mathrm{C}$ then show that it is a right-angled triangle.

Answer 1

Prove that $\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}$is a right-angled triangle:

Given: $\cos \mathrm{A}=\sin \mathrm{B}-\cos \mathrm{C}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{cosA}=\mathrm{sinB}-\mathrm{cosC} \\ \Rightarrow \mathrm{cosA}+\mathrm{cosC}=\mathrm{sinB} \\ \Rightarrow 2\cos \left(\frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{2}\right)·\cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}\right)=\mathrm{sinB}\left[\mathrm{cosx}+\mathrm{cosy}=2\cos \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\right)·\cos \left(\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}\right)\right] \\ \Rightarrow 2\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{B}}{2}\right).\cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}\right)=\mathrm{sinB}\mathbf{}\left[\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\mathrm{\pi }\Rightarrow \frac{\mathrm{A}+\mathrm{C}}{2}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{B}}{2}\right] \\ \Rightarrow \mathbf{}2\sin \frac{\mathrm{B}}{2}·\cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}\right)=\mathrm{sinB} \\ \Rightarrow 2\sin \frac{\mathrm{B}}{2}·\cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}\right)=2\sin \frac{\mathrm{B}}{2}\cos \frac{\mathrm{B}}{2}[\mathrm{sinx}=2\sin \frac{\mathrm{x}}{2}\cos \frac{\mathrm{x}}{2}] \\ \Rightarrow \cos \left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}\right)=\cos \frac{\mathrm{B}}{2} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{A}-\mathrm{C}}{2}=\frac{\mathrm{B}}{2} \\ \Rightarrow \mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} \\ \Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180°(\mathrm{Angle}\mathrm{sum}\mathrm{property}\mathrm{of}\mathrm{triangle}) \\ \Rightarrow \mathrm{A}+\mathrm{A}=180° \\ \Rightarrow 2\mathrm{A}=180° \\ \Rightarrow \mathrm{A}=90° \end{gathered}$$

Hence, $\mathrm{\Delta }\mathrm{ABC}$ is a right-angled triangle.