Question

$\text{∫}\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{sinx}\right)}{\left(1+\cos \mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}=$

Answer 1

Step: 1 Solve the given integral

Given: $\text{∫}\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{sinx}\right)}{\left(1+\cos \mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \int \frac{\left(\mathrm{x}+2\sin \left(\mathrm{x}/2\right)\cos \left(\mathrm{x}/2\right)\right)\mathrm{dx}}{\left(1+2{\cos }^2\left(\mathrm{x}/2\right)-1\right)} \\ \Rightarrow \int \frac{(\mathrm{x}+2\sin (\mathrm{x}/2)\cos (\mathrm{x}/2\left)\right)\mathrm{dx}}{2{\cos }^2(\mathrm{x}/2)} \\ \Rightarrow \int \frac{\mathrm{x}\mathrm{dx}}{2{\cos }^2(\mathrm{x}/2)}+\int \tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx} \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\int \mathrm{x}{\sec }^2(\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}+\int \tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}-\left(1\right) \end{gathered}$$

Step: 2 Integrate the first integral by parts,

Let,

$$\begin{gathered} \mathrm{u}=\mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{v}=\tan (\mathrm{x}/2) \\ \mathrm{du}=\mathrm{dx},{\text{dv = (1/2) sec}}^2(\mathrm{x}/2)\mathrm{dx} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int \mathrm{x}{\sec }^2(\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}=\mathrm{x}\tan (\mathrm{x}/2)-\int \tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx} \\ \mathrm{substitute}\mathrm{in}\left(1\right) \\ \frac{1}{2}\int \mathrm{x}{\sec }^2(\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}+\hspace{0.17em}\int \tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}=\mathrm{x}\tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}-\int \tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx}+\int \tan (\mathrm{x}/2)\mathrm{dx} \\ =\mathrm{x}\tan (\mathrm{x}/2)+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Therefore, $\text{∫}\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{sinx}\right)}{\left(1+\cos \mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$=$\mathrm{x}\tan (\mathrm{x}/2)+\mathrm{C}$, where $C$ is an arbitrary constant.