Question

Show that : $\frac{\mathrm{sinx}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}$$=\frac{1}{2}[\tan 27x-\mathrm{tanx}]$

Answer 1

Trigonometry identity prove:

$\frac{\mathrm{sinx}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}$$=\frac{1}{2}[\tan 27x-\mathrm{tanx}]$

$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}=$$\frac{\mathrm{sinx}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}$

$=$$\frac{2\mathrm{sinx}}{2\cos 3\mathrm{x}}+\frac{2\sin 3\mathrm{x}}{2\cos 9\mathrm{x}}+\frac{2\sin 9\mathrm{x}}{2\cos 27\mathrm{x}}$ (Multiplying numerator and denominator with $2$)

$=$$\frac{1}{2}\left[\frac{2\mathrm{sinx}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{2\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{2\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}\right]$

$=$$\frac{1}{2}[\frac{2\mathrm{sinxcosx}}{\cos 3\mathrm{xcosx}}+\frac{2\sin 3\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{2\sin 9\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}]$

(Multiplying numerator and denominator of each fraction with $\mathrm{cosx}$,$\cos 3\mathrm{x}$ and $\cos 9\mathrm{x}$ respectively)

$=$ $\frac{1}{2}[\frac{\sin 2\mathrm{x}}{\cos 3\mathrm{xcosx}}+\frac{\sin 6x}{\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{\sin 18x}{\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}]$ (Identity used: $\sin 2\mathrm{A}=2\mathrm{sinAcosA}$)

$=$$\frac{1}{2}[\frac{\sin (3\mathrm{x}-\mathrm{x})}{\cos 3\mathrm{xcosx}}+\frac{\sin (9\mathrm{x}-3\mathrm{x})}{\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{\sin (27\mathrm{x}-9\mathrm{x})}{\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}]$ [Writing the numerator of each fraction in $\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})$form]

$=$$\frac{1}{2}[\frac{\sin 3\mathrm{xcosx}-\cos 3\mathrm{xsinx}}{\cos 3\mathrm{xcosx}}+\frac{\sin 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}-\cos 9\mathrm{xsin}3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{\sin 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}-\cos 27\mathrm{xsin}9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}]$

[Identity used in above step: $\sin (\mathrm{A}-\mathrm{B})$$=\mathrm{sinAcosB}-\mathrm{cosAsinB}$]

$=$$\frac{1}{2}[\frac{\sin 3\mathrm{xcosx}}{\cos 3\mathrm{xcosx}}-\frac{\cos 3\mathrm{xsinx}}{\cos 3\mathrm{xcosx}}+\frac{\sin 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}-\frac{\cos 9\mathrm{xsin}3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{xcos}3\mathrm{x}}+\frac{\sin 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}-\frac{\cos 27\mathrm{xsin}9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{xcos}9\mathrm{x}}]$

$=$$\frac{1}{2}[\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 3\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+-\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 27\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}-\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\mathrm{cosx}}]$

$=$$\frac{1}{2}[\tan 3\mathrm{x}-\mathrm{tanx}+\tan 9\mathrm{x}-\tan 3\mathrm{x}+\tan 27\mathrm{x}-\tan 9\mathrm{x}]$ ( Here $\tan 3\mathrm{x}$ and $\tan 9\mathrm{x}$ will cancel each other)

$=\frac{1}{2}[\tan 27x-\mathrm{tanx}]$

Thus,$\frac{\mathrm{sinx}}{\cos 3\mathrm{x}}+\frac{\sin 3\mathrm{x}}{\cos 9\mathrm{x}}+\frac{\sin 9\mathrm{x}}{\cos 27\mathrm{x}}$$=\frac{1}{2}[\tan 27x-\mathrm{tanx}]$. Hence proved