Question

The general solution of$\sin \mathrm{x}-3\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}=\cos \mathrm{x}-3\cos 2\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x}$.

Answer 1

Given:

$\begin{array}{rcl}\sin \mathrm{x}–3\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}& =& \cos \mathrm{x}–3\cos 2\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x}.\\ (\sin \mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x})–3\sin 2\mathrm{x}& =& (\cos \mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x})–3.\cos 2\mathrm{x}\\ 2.\sin 2\mathrm{x}\cos \mathrm{x}–3.\sin 2\mathrm{x}& =& 2.\cos 2\mathrm{x}\cos \mathrm{x}–3.\cos 2\mathrm{x}\\ \sin 2\mathrm{x}(2\cos \mathrm{x}–3)& =& \cos 2\mathrm{x}(2\cos \mathrm{x}–3)\\ & \Rightarrow & \sin 2\mathrm{x}=\cos 2\mathrm{x}\\ & \Rightarrow & \tan 2\mathrm{x}=1\\ & \Rightarrow & 2\mathrm{x}=\mathrm{n\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ & \Rightarrow & \mathrm{x}=\frac{\mathrm{n\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{8}\end{array}$$$ $$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}& & \left[\mathrm{Note}: \\ \cos \mathrm{x}+\cos \mathrm{y}=2\cos \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\cos \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2} \\ \sin \mathrm{x}+\sin \mathrm{y}=2\sin \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}\cos \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2} \\ \cos (-\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}\right]\end{array} \end{gathered}$$

Hence, the general solution of$\sin \mathrm{x}-3\sin 2\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x}=\cos \mathrm{x}-3\cos 2\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x}$ is $\begin{array}{rcl}\mathrm{x}& =& \frac{\mathrm{n\pi }}{2}+\frac{\mathrm{\pi }}{8}\end{array}$