Question

1) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left[x\right]}{x}$
2) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{\left[x\right]}{x}$

Answer 1

1) $limx\to 0$ $\frac{\left[x\right]}{x}$

Left hand limit $=$

$=limx\to (0-h)$ $\frac{\left[x\right]}{x}$

$=limh\to 0$ $\frac{[0-h]}{0-h}$

$=limh\to 0$ $\frac{-1}{-h}$

$=limh\to 0$ $\frac{1}{h}$

$=\frac{1}{0}$

$=not$ $define$

If L.H.L doesn't exist .

so , limit does not exist.

2) $limx\to 1$ $\frac{\left[x\right]}{x}$

Left hand limit $=$

$=limx\to (1-h)$ $\frac{\left[x\right]}{x}$

$=limh\to 0$ $\frac{[1-h]}{1-h}$

$=limh\to 0$ $\frac{0}{1-h}$

$=limh\to 0$ $0$

$=0$

Right hand limit $=$

$=limx\to (1+h)$ $\frac{\left[x\right]}{x}$

$=limh\to 0$ $\frac{[1+h]}{1+h}$

$=limh\to 0$ $\frac{1}{1+h}$

$=$ $\frac{1}{1+0}$

$=1$

Right hand limit $\ne$ Left hand limit

so, does no exist.