Question

$-2\int x^2{e}^{-2x}dx=e^{-2x}(a{x}^2+bx+c)+d$, then

Answer 1

$-2\int x^2{e}^{-2x}dx$

$=-2(x^2\frac{-1}{2}{e}^{-2x}+\frac{1}{4}(-2e^{-2x}x+e^{-2x}))+C$

$=e^{-2x}{x}^2+e^{-2x}x-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C$

$-2\int x^2{e}^{-2x}dx=e^{-2x}{x}^2-e^{-2x}x-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C$

$\Rightarrow -2\int x^2{e}^{-2x}dx=e^{-2x}(x^2+x-\frac{1}{2})+C$

$\Rightarrow$ $e^{-2x}(a{x}^2+bx+c)+d=e^{-2x}(x^2+x-\frac{1}{2})+C$

$\Rightarrow a=1$

$\Rightarrow b=1$

$\Rightarrow c=\frac{-1}{2}$

$\Rightarrow d=C\left(constant\right)$