Question

$\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)·\left\{\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\times \left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right\}$is equal to

(a) $\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

(b) $2\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

(c) $3\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]$

(d) 0

Answer 1

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{c}\right)3\left[\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{c}\right] \\ \mathrm{We}\mathrm{have} \\ \left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{\mathrm{c}}\right).\left\{\left(\overrightarrow{a}\mathit{}\mathit{-}\mathit{}\overrightarrow{b}\right)\times \left(\overrightarrow{a}\mathit{-}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{-}\mathit{}\overrightarrow{c}\right)\right\} \\ =\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{\left(\overrightarrow{a}\mathit{}-\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{a}\mathit{}-\left(\overrightarrow{a}\mathit{}-\mathit{}\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{b}\mathit{}-\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}\right\} \\ =\left(\overrightarrow{a}\mathit{}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}\mathit{}-\mathit{}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\mathit{}-\mathit{}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right\} \\ =\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{0-\mathit{}\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}-\mathit{}\mathit{}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\mathit{}+0-\mathit{}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right\} \\ =\left(\overrightarrow{a}\mathit{}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right).\left\{-\overrightarrow{a}\mathit{}\times \overrightarrow{c}\mathit{}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right\}(\because \overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}=-\overrightarrow{\mathrm{b}}\times \overrightarrow{\mathrm{a}}) \\ =-\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{a}\mathit{}\times \overrightarrow{c}\right)+\overrightarrow{a}\mathit{.}\left(\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{\times }\overrightarrow{c}\right)-2\overrightarrow{b}.\left(\overrightarrow{a}\mathit{}\times \overrightarrow{c}\mathit{}\right)+2\overrightarrow{b}.\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}\right)+\overrightarrow{c}\mathit{.}\left(\overrightarrow{a}\mathit{}\mathit{\times }\overrightarrow{c}\right)-\mathit{}\overrightarrow{c}\mathit{.}\left(\overrightarrow{b}\mathit{\times }\overrightarrow{c}\right) \\ =0+\left[\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{c}\right]-2\left[\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{c}\right]+0+0-0(\because \left[\mathrm{\lambda }\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{c}\right]=\mathrm{\lambda }\left[\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{c}\right]\mathrm{for}\mathrm{any}\mathrm{scalar}\mathrm{\lambda }) \\ =3\left[\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{c}\right](\because -\left[\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{c}\right]=\left[\overrightarrow{a}\mathit{}\overrightarrow{b}\mathit{}\overrightarrow{c}\right]) \end{gathered}$$